高中数学诱导公式全集

高中学科 发布时间: 2018-01-26 14:47:11 浏览量: 11439

  常用的诱导公式有以下几

 

  公式一:

  α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:

  sin2kπα)=sinα kZ

  cos2kπα)=cosα kZ

  tan2kπα)=tanα kZ

  cot2kπα)=cotα kZ

 

  公式二:

  α为任意角,π+α的三角函数α的三角函数的关系:

  sinπα)=-sinα

  cosπα)=-cosα

  tanπα)=tanα

  cotπα)=cotα

 

  公式三:

  任意角α的三角函数的关系:

  sin(-α)=-sinα

  cos(-α)=cosα

  tan(-α)=-tanα

  cot(-α)=-cotα

 

  公式四:

  利用公式二和公式三可以得到π-αα的三角函数的关系:

  sinπα)=sinα

  cosπα)=-cosα

  tanπα)=-tanα

  cotπα)=-cotα

 

  公式五:

  利用公式一和公式三可以得到2π-αα的三角函数的关系:

  sinα)=-sinα

  cosα)=cosα

  tanα)=-tanα

  cotα)=-cotα

 

  公式六:

  π/2±α3π/2±αα的三角函数的关系:

  sinπ/2α)=cosα

  cosπ/2α)=-sinα

  tanπ/2α)=-cotα

  cotπ/2α)=-tanα

  sinπ/2α)=cosα

  cosπ/2α)=sinα

  tanπ/2α)=cotα

  cotπ/2α)=tanα

  sin3π/2α)=-cosα

  cos3π/2α)=sinα

  tan3π/2α)=-cotα

  cot3π/2α)=-tanα

  sin3π/2α)=-cosα

  cos3π/2α)=-sinα

  tan3π/2α)=cotα

  cot3π/2α)=tanα

 

  (以上kZ)

  注意:在做题时,将a看成角来做会比好做。

 

  诱导公式记忆

 

  总结

 

  上面诱导公式可以概括

 

  π/2*k ±α(kZ)的三角函数

 

  k是偶数,得到α的同名函数,即函数名不改

 

  k是奇数,得到α的余函数,即sin→coscos→sintan→cotcot→tan.

 

  (奇偶不

 

  然后在前面加上把α看成原函数的符号。

 

  (符号看象限)

 

  例如:

 

  sin(2πα)sin(4•π/2α)k4为偶数,所以取sinα

 

  当αα(270°360°)sin(2πα)0,符号

 

  所以sin(2πα)=-sinα

 

  上述的记忆是:

 

  奇偶不,符号看象限。

 

  公式右的符号α视为锐角时,角k•360°+αkZ),180°±α360°-α

 

  所在象限的原三角函数的符号可记忆

 

  水平诱导名不;符号看象限。

 

  #

 

  各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以住口一全正;二正弦(余割);三两切;四余弦(正割)”

 

  十二字口的意思就是

 

  第一象限内任何一个角的四种三角函数都是

 

  第二象限内只有正弦是,其余全部是

 

  第三象限内切函数是,弦函数是

 

  第四象限内只有余弦是,其余全部是

 

  上述记忆,一全正,二正弦,三内切,四余弦

 

  #

 

  有一种按照函数型分象限定正

 

  函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

 

  正弦 ...................................—............—........

 

  余弦 .......................—............—....................

 

  正切 .......................—........................—........

 

  余切 .......................—........................—........

 

  同角三角函数基本关系

 

  同角三角函数的基本关系式

 

  倒数关系:

 

  tanα•cotα1

 

  sinα•cscα1

 

  cosα•secα1

 

  商的关系:

 

  sinα/cosαtanαsecα/cscα

 

  cosα/sinαcotαcscα/secα

 

  平方关系:

 

  sin^2(α)cos^2(α)1

 

  1tan^2(α)sec^2(α)

 

  1cot^2(α)csc^2(α)

 

  同角三角函数关系六角形记忆

 

  六角形记忆法:(参看片或参考接)

 

  构造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中1"的正六模型。

 

  (1)倒数关系:线上两个函数互倒数;

 

  (2)商数关系:六形任意一点上的函数等于与它相的两个点上函数的乘

 

  (主要是两条虚线两端的三角函数的乘)。由此,可得商数关系式。

 

  (3)平方关系:在有阴影线的三角形中,上面两个点上的三角函数的平方和等于下面点上的三角函数的平方。

 

  两角和差公式

 

  两角和与差的三角函数公式

 

  sinαβ)=sinαcosβcosαsinβ

 

  sinαβ)=sinαcosβcosαsinβ

 

  cosαβ)=cosαcosβsinαsinβ

 

  cosαβ)=cosαcosβsinαsinβ

 

  tanαβ)=(tanα+tanβ)(1-tanαtanβ)

 

  tanαβ)=(tanαtanβ)(1tanα•tanβ)

 

  二倍角公式

 

  二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)

 

  sin2α2sinαcosα

 

  cos2αcos^2(α)sin^2(α)2cos^2(α)112sin^2(α)

 

  tan2α2tanα/[1tan^2(α)]

 

  半角公式

 

  半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)

 

  sin^2(α/2)(1cosα)2

 

  cos^2(α/2)(1cosα)2

 

  tan^2(α/2)(1cosα)(1cosα)

 

  另也有tan(α/2)=(1cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)

 

  万能公式

 

  sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

 

  cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

 

  tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

 

  万能公式推

 

  附推

 

  sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*

 

  (因cos^2(α)+sin^2(α)=1

 

  再把*分式上下同除cos^2(α),可得sin2α2tanα/(1tan^2(α))

 

  然后用α/2代替α即可。

 

  同理可推余弦的万能公式。正切的万能公式可通正弦比余弦得到。

 

  三倍角公式

 

  三倍角的正弦、余弦和正切公式

 

  sin3α3sinα4sin^3(α)

 

  cos3α4cos^3(α)3cosα

 

  tan3α[3tanαtan^3(α)][13tan^2(α)]

 

  三倍角公式推

 

  附推

 

  tan3αsin3α/cos3α

 

  =(sin2αcosαcos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

 

  =(2sinαcos^2(α)cos^2(α)sinαsin^3(α))/(cos^3(α)cosαsin^2(α)2sin^2(α)cosα)

 

  上下同除以cos^3(α),得:

 

  tan3α(3tanαtan^3(α))/(1-3tan^2(α))

 

  sin3αsin(2αα)sin2αcosαcos2αsinα

 

  =2sinαcos^2(α)(12sin^2(α))sinα

 

  =2sinα2sin^3(α)sinα2sin^3(α)

 

  =3sinα4sin^3(α)

 

  cos3αcos(2αα)cos2αcosαsin2αsinα

 

  =(2cos^2(α)1)cosα2cosαsin^2(α)

 

  =2cos^3(α)cosα(2cosα2cos^3(α))

 

  =4cos^3(α)3cosα

 

  即

 

  sin3α3sinα4sin^3(α)

 

  cos3α4cos^3(α)3cosα

 

  三倍角公式记忆

 

  记忆方法:音、

 

  正弦三倍角:3 43角(欠(被减成),所以要挣钱”(音似正弦”)

 

  余弦三倍角:43 3元(减完之后

 

  ☆☆注意函数名,即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余弦表示。

 

  另外的记忆方法:

 

  正弦三倍角: 山无司令 (谐音为 三无四立) 三指的是"3"sinα 无指的是减号, 四指的是"4" 立指的是sinα立方

 

  余弦三倍角: 司令无山 与上同理

 

  和差化公式

 

  三角函数的和差化公式

 

  sinαsinβ2sin[(αβ)/2]•cos[(αβ)/2]

 

  sinαsinβ2cos[(αβ)/2]•sin[(αβ)/2]

 

  cosαcosβ2cos[(αβ)/2]•cos[(αβ)/2]

 

  cosαcosβ=-2sin[(αβ)/2]•sin[(αβ)/2]

 

  化和差公式

 

  三角函数的化和差公式

 

  sinα•cosβ0.5[sin(αβ)sin(αβ)]

 

  cosα•sinβ0.5[sin(αβ)sin(αβ)]

 

  cosα•cosβ0.5[cos(αβ)cos(αβ)]

 

  sinα•sinβ=-0.5[cos(αβ)cos(αβ)]

 

  和差化公式推

 

  附推

 

  首先,我知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinbsin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

 

  我把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

 

  所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

 

  同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

 

  同的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinbcos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

 

  所以,把两式相加,我就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

 

  所以我就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

 

  同理,两式相减我就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

 

  这样,我就得到了化和差的四个公式:

 

  sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

 

  cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

 

  cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

 

  sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

 

  有了化和差的四个公式以后,我只需一个形,就可以得到和差化的四个公式。

 

  我把上述四个公式中的a+b设为xa-b设为y,那么a=(x+y)/2b=(x-y)/2

 

  把abxy表示就可以得到和差化的四个公式:

 

  sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

 

  sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

 

  cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

 

  cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)


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